$e$を自然対数の底，すなわち$\displaystyle e=\lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^t$とする．すべての正の実数$x$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]

各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は

$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．

(2)$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

次の各問に答えよ．

(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし，
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく．

(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ．
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．
(2)$1<a<b$のとき，不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ．
(3)$x \geqq e$において，不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$を定数とし，関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について，傾きが$1$である接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ．

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき，$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ．

すべての実数$x$に対して微分可能な関数$f(x)$が等式
\[ e^{-x}f(x)+\int_0^x e^{-t} f(t) \, dt=1+e^{-2x}(3 \sin x-\cos x) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$e^{-x} \sin x$の導関数を求めよ．さらに，$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$について，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$を用いてよい．
(2)$e^{\pi}>\pi^e$を示せ．
(3)$e^{\sqrt{\pi}}<\pi^{\sqrt{e}}$を示せ．