次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．

実数$x$に対して，$t=e^x+e^{-x}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2)$e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3)$t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）

関数$\displaystyle f(x)=\int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt$を考える．ただし，$\alpha$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて，
\[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \]
となることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$xyz$空間において，2点P$(1,\ 0,\ 1)$，Q$(-1,\ 1,\ 0)$を考える．線分PQを$x$軸の周りに1回転して得られる曲面を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．