「繰り返し」について
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国立 滋賀大学 2014年 第3問次のようなゲームを行い，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人の中から$1$人の勝者を決める．赤玉$3$個，白玉$5$個，黒玉$7$個が入った袋から$4$個の玉を同時に取り出し，最も多く取り出された玉が赤玉ならば$\mathrm{A}$，白玉ならば$\mathrm{B}$，黒玉ならば$\mathrm{C}$の勝ちとする．ただし，赤玉と白玉が$2$個ずつ，あるいは赤玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{A}$の勝ち，白玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{B}$の勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．
(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
数直線上の座標$1,\ 2,\ 3$で表される位置に置かれた点に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
操作$\mathrm{T}$
\mon[$(\mathrm{a})$] 点が$1$または$2$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で正の方向へ$1$だけ動かす．
\mon[$(\mathrm{b})$] 点が$3$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で負の方向へ$1$だけ動かす．
\end{screen}
以下，$n$を自然数とする．
(1)$1$の位置に置かれている点$\mathrm{A}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{A}$が$1$の位置に置かれている確率を$p_n$，$2$の位置に置かれている確率を$q_n$とすると，$p_n=[あ]$，$q_n=[い]$である．
(2)$2$の位置に置かれている点$\mathrm{B}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{B}$が$2$の位置に置かれている確率を$q_n^\prime$とすると，$q_n^\prime=[う]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$1$の位置に置かれているとする．はじめに$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとし，点$\mathrm{C}$が$1$の位置を離れた次の回からは$\mathrm{O}$君が加わって，$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うのと同時に，$\mathrm{K}$君とは独立に，$\mathrm{O}$君が点$\mathrm{D}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとする．
$(3-1)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$2$の位置に置かれている確率を$r_n$とすると$r_1=0$，$r_2=[え]$であり，一般に$n \geqq 2$に対して$r_n=[お]$である．
$(3-2)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がどちらも$2$の位置に置かれていない確率を$s_n$とすると$s_1=[か]$である．また一般に$n \geqq 2$に対して$s_n-r_n=[き]$である．
数直線上の座標$1,\ 2,\ 3$で表される位置に置かれた点に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
操作$\mathrm{T}$
\mon[$(\mathrm{a})$] 点が$1$または$2$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で正の方向へ$1$だけ動かす．
\mon[$(\mathrm{b})$] 点が$3$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で負の方向へ$1$だけ動かす．
\end{screen}
以下，$n$を自然数とする．
(1)$1$の位置に置かれている点$\mathrm{A}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{A}$が$1$の位置に置かれている確率を$p_n$，$2$の位置に置かれている確率を$q_n$とすると，$p_n=[あ]$，$q_n=[い]$である．
(2)$2$の位置に置かれている点$\mathrm{B}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{B}$が$2$の位置に置かれている確率を$q_n^\prime$とすると，$q_n^\prime=[う]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$1$の位置に置かれているとする．はじめに$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとし，点$\mathrm{C}$が$1$の位置を離れた次の回からは$\mathrm{O}$君が加わって，$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うのと同時に，$\mathrm{K}$君とは独立に，$\mathrm{O}$君が点$\mathrm{D}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとする．
$(3-1)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$2$の位置に置かれている確率を$r_n$とすると$r_1=0$，$r_2=[え]$であり，一般に$n \geqq 2$に対して$r_n=[お]$である．
$(3-2)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がどちらも$2$の位置に置かれていない確率を$s_n$とすると$s_1=[か]$である．また一般に$n \geqq 2$に対して$s_n-r_n=[き]$である．
私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．
(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．
(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
$xy$平面上で点$\mathrm{P}$は$x$軸上に，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上に置かれ，点$\mathrm{P}$の$x$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標はそれぞれ$-2$以上$2$以下の整数であるとする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して次の操作を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作} \\
点$\mathrm{P}$の座標が$(i,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,\ j)$であるとき次の規則に従って$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を互いに独立に同時に処理する．
\mon[$(\mathrm{P}1)$] $-1 \leqq i \leqq 1$ならば点$\mathrm{P}$を$(i+1,\ 0)$または$(i-1,\ 0)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{P}2)$] $i=-2$ならば点$\mathrm{P}$を必ず$(-1,\ 0)$に移す．
\mon[$(\mathrm{P}3)$] $i=2$ならば点$\mathrm{P}$をそのままにしておく．
\mon[$(\mathrm{Q}1)$] $-1 \leqq j \leqq 1$ならば点$\mathrm{Q}$を$(0,\ j+1)$または$(0,\ j-1)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{Q}2)$] $j=-2$ならば点$\mathrm{Q}$を必ず$(0,\ -1)$に移す．
\mon[$(\mathrm{Q}3)$] $j=2$ならば点$\mathrm{Q}$をそのままにしておく．
\end{screen}
さて，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている状態から始め，上の操作を$3$回繰り返し行う．
(1)$3$回の操作の後，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$に置かれている確率は$[あ]$であり，$(-1,\ 0)$に置かれている確率は$[い]$である．
(2)$xy$平面上で不等式$y>x$の表す領域を$A$，不等式$y>-x$の表す領域を$B$とする．各回の操作後に点$\mathrm{P}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$U$とし，各回の操作後に点$\mathrm{Q}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$V$とすると，事象$U \cup V$の確率は$[う]$である．
$xy$平面上で$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分の長さを$\mathrm{PQ}$とする．ただし$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている場合は$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$3$回の操作を通じてちょうど$1$回だけ$\mathrm{PQ}=\sqrt{2}$となる確率は$[え]$である．
(4)$3$回の操作を通じた$\mathrm{PQ}$の最大値の期待値は$[お]$である．
$xy$平面上で点$\mathrm{P}$は$x$軸上に，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上に置かれ，点$\mathrm{P}$の$x$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標はそれぞれ$-2$以上$2$以下の整数であるとする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して次の操作を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作} \\
点$\mathrm{P}$の座標が$(i,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,\ j)$であるとき次の規則に従って$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を互いに独立に同時に処理する．
\mon[$(\mathrm{P}1)$] $-1 \leqq i \leqq 1$ならば点$\mathrm{P}$を$(i+1,\ 0)$または$(i-1,\ 0)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{P}2)$] $i=-2$ならば点$\mathrm{P}$を必ず$(-1,\ 0)$に移す．
\mon[$(\mathrm{P}3)$] $i=2$ならば点$\mathrm{P}$をそのままにしておく．
\mon[$(\mathrm{Q}1)$] $-1 \leqq j \leqq 1$ならば点$\mathrm{Q}$を$(0,\ j+1)$または$(0,\ j-1)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{Q}2)$] $j=-2$ならば点$\mathrm{Q}$を必ず$(0,\ -1)$に移す．
\mon[$(\mathrm{Q}3)$] $j=2$ならば点$\mathrm{Q}$をそのままにしておく．
\end{screen}
さて，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている状態から始め，上の操作を$3$回繰り返し行う．
(1)$3$回の操作の後，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$に置かれている確率は$[あ]$であり，$(-1,\ 0)$に置かれている確率は$[い]$である．
(2)$xy$平面上で不等式$y>x$の表す領域を$A$，不等式$y>-x$の表す領域を$B$とする．各回の操作後に点$\mathrm{P}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$U$とし，各回の操作後に点$\mathrm{Q}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$V$とすると，事象$U \cup V$の確率は$[う]$である．
$xy$平面上で$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分の長さを$\mathrm{PQ}$とする．ただし$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている場合は$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$3$回の操作を通じてちょうど$1$回だけ$\mathrm{PQ}=\sqrt{2}$となる確率は$[え]$である．
(4)$3$回の操作を通じた$\mathrm{PQ}$の最大値の期待値は$[お]$である．