「縦棒」について
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私立 早稲田大学 2013年 第1問一般項が$a_k=2k-1$である数列に，次のような規則で縦棒で仕切りを入れて区分けする．その規則とは，区分けされた$n$番目の部分（これを第$n$群と呼ぶことにする）が$2n-1$個の項からなるように仕切るものである．
\[ 1 \;\biggl|\; 3,\ 5,\ 7 \;\biggl|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;\biggl|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;\biggl|\; 33,\ 35,\ 37,\ \cdots \]
このとき，例えば，第$3$群は，$9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17$の$5$つの項からなるので，第$3$群の初項は$9$，末項は$17$，中央の項は$3$項目の$13$である．また，第$3$群の総和は$9+11+13+15+17=65$であり，$15$は第$3$群の第$4$項である．次の問に答えよ．
(1)第$n$群の初項を$n$の式で表せ．
(2)第$n$群の中央の項を$n$の式で表せ．
(3)第$n$群の項の総和$S(n)$を$n$の式で表せ．
(4)第$1$群から第$n$群までの中央の項の総和を$n$の式で表せ．
(5)$2013$は第何群の第何項か．
\[ 1 \;\biggl|\; 3,\ 5,\ 7 \;\biggl|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;\biggl|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;\biggl|\; 33,\ 35,\ 37,\ \cdots \]
このとき，例えば，第$3$群は，$9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17$の$5$つの項からなるので，第$3$群の初項は$9$，末項は$17$，中央の項は$3$項目の$13$である．また，第$3$群の総和は$9+11+13+15+17=65$であり，$15$は第$3$群の第$4$項である．次の問に答えよ．
(1)第$n$群の初項を$n$の式で表せ．
(2)第$n$群の中央の項を$n$の式で表せ．
(3)第$n$群の項の総和$S(n)$を$n$の式で表せ．
(4)第$1$群から第$n$群までの中央の項の総和を$n$の式で表せ．
(5)$2013$は第何群の第何項か．