原点をOとする$xyz$空間内で，$x$軸上の点A，$xy$平面上の点B，$z$軸上の点Cを，次をみたすように定める．
\[ \angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = \theta, \quad \angle \text{AOB} = 2\theta, \quad \text{OC}=3 \]
ただし，Aの$x$座標，Bの$y$座標，Cの$z$座標はいずれも正であるとする．さらに，$\triangle$ABC内の点のうち，Oからの距離が最小の点をHとする．また，$t = \tan \theta$とおく．

(1)線分OHの長さを$t$の式で表せ．
(2)Hの$z$座標を$t$の式で表せ．

点$\mathrm{O}$を中心とする正十角形において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を隣接する$2$つの頂点とする．線分$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{OP}^2=\mathrm{OB}\cdot \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{OP}=\mathrm{AB}$が成立することを示せ．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．

座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$\triangle$ABCの辺BC上に点D，辺AC上に点Eがあり，四角形ABDEが円Oに内接している．$\displaystyle \text{AE} = \text{DE},\ \text{AB} = \frac{42}{5},\ \text{AC} = 14,\ \text{BD} = \frac{6}{5}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ．
(2)円Oの半径を求めよ．

$a>0$とする．放物線$\displaystyle C : y = \frac{a}{2}x^2$上の点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{a}{2} \right)$を通り，Pを通る接線に直交する直線を$\ell$，$y$軸と$\ell$との交点をQとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)線分PQ，$y$軸および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)直線$\ell$，$y$軸，直線$x = -1$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2 = 2S_1$となる$a$の値を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$a$を正の定数とする．2つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=(x-2)^2+4a$の交点をPとする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点Q$(t,\ t^2)$における接線の方程式を求めよ．さらに，その接線のうち$C_2$に接するものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り$y$軸に平行な直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点をRとするとき，線分PRの長さを求めよ．
(3)直線$\ell,\ m$と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

Oを原点とする座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と直線$x+2y=1$の交点のうち，$x$座標の小さい方をP，他方をQとする．点P，Qにおける円$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．次の問いに答えよ．

(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．