座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 3,\ -3)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は適当な$2$つの実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すことができる．以下の問に答えなさい．

(1)平面$\alpha$上にない点$\mathrm{Q}(a,\ b,\ c)$に対して，線分$\mathrm{QH}$が平面$\alpha$と垂直になるような$\alpha$上の点$\mathrm{H}$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積が四面体$\mathrm{OABC}$の体積と等しくなるように$z$軸上の点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}$と$\mathrm{F}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CO}$を$\displaystyle \frac{t}{3}:\left( 1-\frac{t}{3} \right)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\displaystyle t=\frac{3}{4}$のとき，$4$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$が同一平面上に存在することを示せ．
(3)$(2)$のとき，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表せ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{OH}_1$とする．次に，点$\mathrm{H}_1$から辺$\mathrm{OA}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$，点$\mathrm{H}_2$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3$，点$\mathrm{H}_3$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_3 \mathrm{H}_4$とする．以下，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上に，この順で垂線を引くことを繰り返し，点$\mathrm{H}_n$を決め，線分$\mathrm{H}_{n-1} \mathrm{H}_n$の長さを$a_n (n \geqq 2)$とする．$a_1=\mathrm{OH}_1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の$3$点$(-2,\ 16)$，$(1,\ 1)$，$(5,\ 9)$を通る放物線$C$をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}(4,\ 0)$と放物線$C$上を動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に外分する点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の軌跡が描く曲線$D$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{FE} \para \, \mathrm{BC}$，$\mathrm{AE}=\mathrm{EC}$である．また，$\mathrm{FE}$を直径とする円$O$と$\mathrm{BC}$との接点を点$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$64$，$\angle \mathrm{ABC}={30}^\circ$のとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)円$O$の半径の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{HFE}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．

(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．

$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．$\sin A:\sin B:\sin C=7:8:3$が成立しているとき，以下の各問に答えよ．

(1)$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$の値の中で，最大値を求めよ．またそのときの，正接の値を求めよ．
(2)$\sin A,\ \sin B,\ \sin C$の値の中で，最大値を求めよ．
(3)$b=4$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$のもとで，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径と，内接円の半径を求めよ．

$a$を実数とする．傾きが$m$である2つの直線が，曲線$y=x^3-3ax^2$とそれぞれ点A，点Bで接している．

(1)線分ABの中点をCとすると，Cは曲線$y=x^3-3ax^2$上にあることを示せ．
(2)直線ABの方程式が$y=-x-1$であるとき，$a,\ m$の値を求めよ．