点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を$\ell$とする．$\ell$と放物線$C:y=-x^2-2x+4$の$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ -\alpha^2-2 \alpha+4)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ -\beta^2-2 \beta+4)$とする．ただし，$\alpha<\beta$である．

(1)$\beta-\alpha$を$k$を用いて表せ．
(2)$\beta-\alpha$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，$C$上を$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで動く点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AR}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標空間内に点$\mathrm{P}(s+3,\ 2s-1,\ 2s+1)$と点$\mathrm{Q}(2s+3,\ 1-2s,\ s-1)$がある．ただし，$s$は実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \sqrt{[ア] \left( [イ]s^2-[ウ]s+[エ] \right)} \]
であり，$\displaystyle s=\frac{[オ]}{[カ]}$のときに最小値$\sqrt{[キ]}$をとる．

(2)$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta=\angle \mathrm{POQ}$とする．$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよう．$k=\cos \theta$とおくと
\[ k=\frac{[クケ]s+[コ]}{[サ]s^2+[シ]s+[スセ]} \cdots\cdots (*) \]
である．

(i) $\displaystyle s=-\frac{[コ]}{[クケ]}$のとき$k=0$となる．
(ii) $k \neq 0$のときに$(*)$を満たす実数$s$が存在するための条件は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq k \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より$\cos \theta$のとる値の範囲は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq \cos \theta \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．また，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[チ]}{[ツ]}$となるのは$\displaystyle s=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a,\ b$を実数（$a \neq b$）とする．$2$つの$2$次関数
\[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \]
の最小値が同じであるとき，$a$を用いて$b$を表すと$b=[ア]$である．このとき，$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$[イ]$である．

(2)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=[ウ]$である．$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$，$(2,\ 3)$の像が，それぞれ，$(-3,\ 5)$，$(-8,\ 12)$であるとき，行列$C$を求めると$C=[エ]$である．
(3)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$，$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし，$a=\cos \alpha$，$b=\cos \beta$とする．$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$であり，$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=[カ]$である．
(4)$k$を正の実数とする．直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$k$の値の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは，$k=[ク]$のときである．
(5)$5$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=[ケ]$である．また，$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき，$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=[コ]$である．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{AP}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．また，円$D:x^2+(y-1)^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{OQ}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．時刻$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\displaystyle \angle \mathrm{ABP}=\frac{\pi}{6}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

$a,\ b$は$a \neq b$を満たす定数とする．座標平面上に放物線$C_1$が$y=x^2+ax+b$で与えられ，放物線$C_2$が$y=x^2+bx+a$で与えられている．$C_1$上の点$\mathrm{P}(0,\ b)$での$C_1$の接線は，$C_2$上の点$\mathrm{Q}$で$C_2$に接しているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(4)放物線$C_1$，$C_2$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積$A$を求めよ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{S}$を三角形$\mathrm{PRS}$の面積が$(4)$で求めた面積$A$と一致するようにとる．$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \alpha=\left\{ \left( \frac{413}{8} \right)^{\frac{1}{2}}+6 \right\}^{\frac{1}{3}}-\left\{ \left( \frac{413}{8} \right)^{\frac{1}{2}}-6 \right\}^{\frac{1}{3}}$は整数を係数とする$3$次方程式
\[ 2x^3+[ア]x^2+[イ]x+[ウ]=0 \]
の解である．
(2)$f(x)=x^3-4x$とする．曲線$y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t-1,\ f(t-1))$，$\mathrm{Q}(t+1,\ f(t+1))$をとる．線分$\mathrm{PQ}$が曲線$y=f(x)$と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$以外の点で交わるための$t$の条件は
\[ \frac{[エ]}{[オ]}<t<\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．