「線分」について
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国立 茨城大学 2011年 第3問1個のさいころを続けて4回投げて，出た目の数を順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．このとき，座標平面上の点P$_1$，P$_2$，P$_3$，P$_4$を手順1から手順4で定める．
手順1．原点Oから$x$軸の正の向きに$a$だけ移動した点をP$_1$とする．
手順2．点P$_1$から$y$軸の正の向きに$b$だけ移動した点をP$_2$とする．
手順3．点P$_2$から$x$軸の負の向きに$c$だけ移動した点をP$_3$とする．
手順4．点P$_3$から$y$軸の負の向きに$d$だけ移動した点をP$_4$とする．
以下の各問に答えよ．
(1)点P$_4$の座標を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)点P$_4$の座標が$(1,\ 2)$である確率を求めよ．
(3)2つの線分OP$_1$とP$_3$P$_4$が共有点をもつ確率を求めよ．
手順1．原点Oから$x$軸の正の向きに$a$だけ移動した点をP$_1$とする．
手順2．点P$_1$から$y$軸の正の向きに$b$だけ移動した点をP$_2$とする．
手順3．点P$_2$から$x$軸の負の向きに$c$だけ移動した点をP$_3$とする．
手順4．点P$_3$から$y$軸の負の向きに$d$だけ移動した点をP$_4$とする．
以下の各問に答えよ．
(1)点P$_4$の座標を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)点P$_4$の座標が$(1,\ 2)$である確率を求めよ．
(3)2つの線分OP$_1$とP$_3$P$_4$が共有点をもつ確率を求めよ．
国立 山梨大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2,\ \mathrm{OB}=3,\ \mathrm{AB}=k$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．
国立 福井大学 2011年 第2問Oを原点とする座標平面上に2点A$(4,\ 2)$，B$(5,\ 0)$がある．AをP$_0$とし，P$_0$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_1$，P$_1$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_2$とする．同様にして，自然数$n$に対して，P$_{2n}$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_{2n+1}$，P$_{2n+1}$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_{2n+2}$とする．さらに，自然数$n$に対して，線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．
(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第3問平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である二等辺三角形OABがあり，線分ABを$2:1$に内分する点をC，$2:1$に外分する点をDとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
国立 福井大学 2011年 第4問関数$f(x)=(x^2-4x+1)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)$は$g^\prime(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,\ g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,\ 0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．
(3)2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の2つの交点をP，Qとするとき，曲線$y=f(x)$と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)$は$g^\prime(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,\ g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,\ 0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．
(3)2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の2つの交点をP，Qとするとき，曲線$y=f(x)$と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第4問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．