座標平面上で円$C:x^2+(y-4)^2=16$上の異なる2点P，Qに対し，線分PQを$1:3$に内分する点をMとする．下の問いに答えよ．

(1)点Pを原点に固定して，点Qを円$C$上で動かしたときの点Mの軌跡を求めよ．
(2)2点P，Qが円$C$上を動くとき，点Mが動く範囲を図示せよ．

長さ2の線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Pをとる．このとき，下の問いに答えよ．

(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．

以下の問いに答えなさい．

(1)点Oを頂点とし，1辺の長さ1の正方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDが，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=1$を満たしているとする．辺OAを$2:1$に内分する点をP，辺OCを$t:1-t$に内分する点をQとする．線分BPと線分BQのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$になるときの$t$の値を求めなさい．
(2)点Pが放物線$y=x^2$上を動くき，定点A$(1,\ a)$と点Pとを結ぶ線分APを$1:2$に内分する点Qの軌跡の方程式を$a$を用いて書きなさい．
(3)$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_0^{\sin 3x} e^{2t} \, dt$を求めなさい．

直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．

\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．

(1)点$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0)$から$C_1$ に引いた接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を結ぶ線分の中点の軌跡を$C_2$とするとき，$C_2$の方程式を求めよ．

四角形ABCDに対して次の各問に答えよ．

(1)点Pを$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$となる点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(2)線分ACと線分BDが交わり，その交点が(1)の点Pと一致するとき，四角形ABCDの形状を理由をつけて述べよ．

点A，BをA$(-1,\ 5)$，B$(2,\ -1)$とする．実数$a,\ b$について直線$y=(b-a)x-(3b+a)$が線分ABと共有点をもつとする．点P$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

$k=1,\ 2$に対して放物線$y=x^2-kx+1$を$C_k$で表す．点A$(1,\ 1)$での$C_1$の接線に，点Aで直交している直線を$\ell$とし，$\ell$と$C_2$の交点のうち$x$座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．

(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．

$\triangle$OABにおいて，$\text{OA}=1,\ \text{OB}=\text{AB}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}$の二等分線上の点Pが$\text{AP}=\text{BP}$を満たすとき，線分APの長さを求めよ．

$\triangle$OABにおいて，$\text{OA}=1,\ \text{OB}=\text{AB}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t$に対して，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b} \right) \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\text{AP}=\text{BP}$を満たすとき，$t$の値を求めよ．さらに線分APの長さを求めよ．