平面上に直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その斜辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$とする．また，点$\mathrm{O}$は$4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3)$4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．

定数$k$は$k > 1$をみたすとする．$xy$平面上の点A$(1,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を，2点X，Yが$\text{AY} = k \text{AX}$をみたしながら動いている．原点O$(0,\ 0)$を中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき，$\triangle$OPQの面積の最大値を$k$を用いて表せ．

Oを原点とする$xy$平面において，直線$y = 1$の$| \, x \, | \geqq 1$を満たす部分を$C$とする．

(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pから$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をQ，線分PQを$2:1$に内分する点をRとする．$\theta=\angle \text{QOP}$のときの$\tan \angle \text{QOR}$と$\tan \angle \text{ROP}$の値をそれぞれ$f(\theta),\ g(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$と$g(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$g(\theta)$の$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE}=t \ (0<t<1),\ \text{AF}=\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．

放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．

四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．

四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．

四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．

直線$\ell_1:y=mx+3 \ (m>0)$が，点A$(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点をPとする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点をRとする．

(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．