$xy$平面上に相異なる4点A，B，C，Dがあり，線分ACと BDは原点Oで交わっている．点Aの座標は$(1,\ 2)$で，線分OAとODの長さは等しく，四角形ABCDは円に内接している．$\angle \text{AOD} = \theta$とおき，点Cの$x$座標を$a$，四角形ABCDの面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．

$p$を定数とする．
\[ f(x) = x^3+x^2+ px+1 \]
とおく．$y=f(x)$のグラフに傾き$1$の$2$つの異なる接線が引けるという．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とする．$(\alpha - \beta)^2$を$p$を用いて表せ．
(3)$2$つの接線の$y$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを$p$を用いて表せ．
(4)$2$つの接線の間の距離が$\displaystyle \frac{8}{27}$となるような$p$の値を求めよ．

$f(x) = e^{-x^2}$とする．曲線$y = f(x)$上の点A$(a,\ f(a))$における接線を$\ell$，原点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直な直線を$\ell^\prime$とし，$\ell$と$\ell^\prime$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(2)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とする．$\sin \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\sin \theta$を最大にする$a$の値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える．$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする．$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく．

(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をOとし，Oを中心とする半径OBの円を$S$，円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする．点Pは円$S$の内部にあり，線分BC上にないものとする．円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．

放物線$\displaystyle F:y=\frac{1}{2}(x+1)^2$上の点A$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を通り，Aにおける$F$の接線に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と放物線$F$との交点のうち点Aと異なる方をB$\displaystyle \left( b,\ \frac{1}{2}(b+1)^2 \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をO，線分ABを$1:4$に外分する点をCとする．Pを直線AB上にない点とし，$\overrightarrow{\mathrm{PO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$が垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|$で表せ．
(3)$\text{PA}=1,\ \triangle \text{PAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$のとき，PBの長さを求めよ．

放物線$y = x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．