$xy$平面上に放物線$C:y=-3x^2+3$と2点A$(1,\ 0)$，P$(0,\ 3p)$がある．線分APと$C$は，Aとは異なる点Qを共有している．

(1)定数$p$の存在する範囲を求めよ．
(2)$S_1$を，$C$と線分AQで囲まれた領域とし，$S_2$を，$C$，線分QP，および$y$軸とで囲まれた領域とする．$S_1$と$S_2$の面積の和が最小となる$p$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$12$，$11$，$10$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．

(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

曲線$y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t})$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3)曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると，$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

空間内の$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE} = t \ (0 < t < 1),\ \text{AF} =\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．

$xy$平面上の曲線$y=x^2$を$C$とする．点P$_0(2,\ 4)$における$C$の接線が直線$y=2$と交わる点をQ$_1(a_1,\ 2)$とする．次に，点P$_1(a_1,\ {a_1}^2)$における$C$の接線が直線$y=a_1$と交わる点をQ$_2(a_2,\ a_1)$とする．以下同様に，点$(a_n,\ {a_n}^2)$をP$_n$とし，P$_n$における$C$の接線が$y=a_n$と交わる点をQ$_{n+1}(a_{n+1},\ a_n)$として，P$_2,\ \text{Q}_3,\ \text{P}_3,\ \text{Q}_4,\ \cdots$を定める．次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)線分P$_n$Q$_{n+1}$，線分P$_{n+1}$Q$_{n+1}$，および$C$で囲まれる部分の面積を$n$の式で表せ．

平面上に長さ3の線分OAを考え，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$で表す．$0 < t < 1$を満たす実数$t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{a}$となるように点Pを定める．大きさ 2のベクトル$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と角$\theta \ (0 < \theta < \pi)$をなすようにとり，点Bを$\overrightarrow{\mathrm{OB}} =\overrightarrow{b}$で定める．線分OBの中点をQとし，線分AQと線分BPの交点をRとする．\\
\quad このとき，どのように$\theta$をとっても$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直にならないような$t$の値の範囲を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．

(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．