楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0,\ b>0)$上の点P$(x_0,\ y_0) (0 < x_0 < a,\ y_0>0)$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれA，Bとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{\ x_0^2 \ }{a^2}=t$とおくとき，線分ABの長さ$\overline{AB}$を$a,\ b,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$0<x_0<a$における$\overline{AB}$の最小値を求めなさい．また，そのときのPの座標を求めなさい．

原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．

実数$\displaystyle t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2} \right)$に対し，座標平面上の点P$(2t-5,\ 0)$とQ$(t,\ t^2)$を考える．

(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．

座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

$y=x(x-2a) (a>0)$で表される放物線$C$がある．$C$の頂点$\mathrm{P}$を通る$y$軸に平行な直線と，$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$C$上を原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$まで動く点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$を通り$x$軸に平行な直線と線分$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)線分$\mathrm{OQ}$，線分$\mathrm{PQ}$および$C$で囲まれた領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と$C$で囲まれた領域の面積と，線分$\mathrm{RH}$，線分$\mathrm{PH}$および$C$で囲まれた領域の面積との和を$T$とするとき，$T$を最小にする$\mathrm{R}$の座標と$T$の最小値を$a$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$\mathrm{AE}:\mathrm{ED}=s:(1-s)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[　]$である．
(2)$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=t:(1-t)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[　]$である．
(3)(1)と(2)を比較して$s,\ t$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[　]$である．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれる領域の面積$S$が$\displaystyle S=\frac{(a-b)^3}{6}$で表されることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{4}{3}$となるように放物線上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．