「線分」について
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国立 豊橋技術科学大学 2012年 第2問$xy$平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第3問曲線$y^2-2xy+x^3=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$および$y$は$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の実数とする．
(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 防衛大学校 2012年 第4問$\angle \mathrm{ACB}$が直角の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BD}=15$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第4問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第3問円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(x_0,\ 0)$があり，$0<x_0<1$とする．原点$\mathrm{O}$と円$C$上の点$\mathrm{B}$を通る直線$\ell_1$と線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{B}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を下の座標平面上に図示せよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2012年 第2問$a$を正の定数とする．放物線$C:y=(1-x)(x+a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}(t,\ (1-t)(t+a))$について，次の問に答えよ．ただし，$0<t<1$とする．
(1)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$，$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．
(2)$S$を最大にする$t$が$\displaystyle \frac{3}{4}<t<\frac{4}{5}$の範囲に存在することを示せ．
(1)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$，$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．
(2)$S$を最大にする$t$が$\displaystyle \frac{3}{4}<t<\frac{4}{5}$の範囲に存在することを示せ．
国立 大分大学 2012年 第2問円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．
(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．
(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．
国立 茨城大学 2012年 第4問点$\mathrm{O}$を座標平面の原点とする．$a,\ b$を正の実数とする．放物線$C_1:y=ax^2$と放物線$\displaystyle C_2:y=-(x-b)^2+\frac{5}{16}$は，共に，点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$において直線$\ell$に接しているとする．直線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{R}(x_0,\ 0)$とする．次の各問に答えよ．
(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$とする．$x$軸と$C_1$と$x \leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$とする．$x$軸と$C_1$と$x \leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．