「線分」について
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(7ページ目:全1074問中61問~70問を表示)![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
四面体$\mathrm{OABC}$を考える.辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする.また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として,辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする.線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
四面体$\mathrm{OABC}$を考える.辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする.また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として,辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする.線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=8$,$\mathrm{AB}=7$である.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として,次に答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して,線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ.また,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし,さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる.このとき,四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して,線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ.また,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし,さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる.このとき,四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
空間において,$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$がある.以下の問いに答えよ.
(1)線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の長さを求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し,平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき,実数$\ell,\ m$の値を求めよ.
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき,実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ.
(5)原点$\mathrm{O}$を頂点,四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ.
(1)線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の長さを求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し,平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき,実数$\ell,\ m$の値を求めよ.
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき,実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ.
(5)原点$\mathrm{O}$を頂点,四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$,$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする.$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く.以下の問いに答えよ.
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする.$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする.$f(X)$を$X$の式で表せ.
(2)$0<a<1$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し,そのときの$X$の値を求めよ.
(3)$a=2$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする.$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする.$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする.$f(X)$を$X$の式で表せ.
(2)$0<a<1$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し,そのときの$X$の値を求めよ.
(3)$a=2$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする.$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.正の数$m$に対して,線分$\mathrm{PC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ.
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$,$|\overrightarrow{c|}=2$,$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり,$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき,$m$の値を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ.
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$,$|\overrightarrow{c|}=2$,$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり,$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき,$m$の値を求めよ.
![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(t,\ 1)$,$\mathrm{B}(-1,\ 0)$,$\mathrm{C}(1,\ 0)$がある.ここで,$t$は実数全体を動くものとする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{D}$,外心を$\mathrm{E}$とする.次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$を用いて表し,それを$f(t)$とおく.関数$y=f(t)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.
(1)点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$を用いて表し,それを$f(t)$とおく.関数$y=f(t)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.
![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
四面体$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=5$,$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=4$,$\mathrm{CD}=6$であるとする.次の問いに答えよ.
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ.
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ.
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$,点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする.このとき,線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ.
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ.
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ.
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$,点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする.このとき,線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ.
![山梨大学](./img/univ/yamanashi.png)
$xy$平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ t \right)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq t<1 \right)$,$\displaystyle \mathrm{Q}(\alpha,\ 0)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq \alpha \leqq 1 \right)$がある.$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする.
(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において,$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ.
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ.
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ.
(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において,$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ.
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ.
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ.
![山梨大学](./img/univ/yamanashi.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{AQ}$,$\mathrm{BR}$,$\mathrm{CP}$は$1$点で交わり,$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}={60}^\circ$とする.このとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}$を求めよ.
(2)複素数$z$の方程式$z^4=-8-8 \sqrt{3}i$の解をすべて求めよ.
(3)初項$a_1=3$,公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.また,$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を,$n$を用いた式で表せ.
(1)$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{AQ}$,$\mathrm{BR}$,$\mathrm{CP}$は$1$点で交わり,$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}={60}^\circ$とする.このとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}$を求めよ.
(2)複素数$z$の方程式$z^4=-8-8 \sqrt{3}i$の解をすべて求めよ.
(3)初項$a_1=3$,公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.また,$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を,$n$を用いた式で表せ.