$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．

円周上に4点A，B，C，Dが反時計回りに並んでいる．直線ABと直線DCの交点をE，線分ACとBDの交点をFとする．$\text{AB}=1,\ \text{BE}=3,\ \text{AE}=4$であり，$\triangle$DCFの面積は$\triangle$ABFの面積の4倍である．$\displaystyle \text{FA}=x,\ \text{FB}=y,\ \text{CE}=t,\ \frac{y}{x}=u$とおいて，以下の問いに答えよ．

(1)$\text{FC},\ \text{FD}$を$x,\ y$で表せ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$u$の値を求めよ．
(4)面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \text{AED}}{\triangle \text{ABF}}$を求めよ．

円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．

(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．

座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{P}_2(\sqrt{3},\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_2$から線分$\mathrm{OP}_1$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_1$との交点を$\mathrm{P}_3$とする．次に，点$\mathrm{P}_3$から線分$\mathrm{OP}_2$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_2$との交点を$\mathrm{P}_4$とする．この操作を繰り返すことにより，点$\mathrm{P}_n$を定める．すなわち，点$\mathrm{P}_{n-1}$から$\mathrm{OP}_{n-2}$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_{n-2}$との交点を$\mathrm{P}_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)三つの線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ．
(3)三つの三角形$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{OP}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{OP}_3 \mathrm{P}_4$の面積をそれぞれ求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ．
(5)三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$a_n$とおき，
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
と定義する．$S_n$は$2\sqrt{3}$以上にならないことを証明せよ．

定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．

$a$を正の定数とし，座標平面上に異なる2点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとる．線分の長さ$\mathrm{OP}$と$\mathrm{PA}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$について，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．

座標平面上に，2つの放物線
\[ C_1:y=(x-t)^2+t,\quad C_2:y=-x^2+4 \]
がある．ただし，$t$は実数とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$C_1,\ C_2$が異なる2点で交わるとき，$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)のとき，$C_1$と$C_2$の2つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を図示せよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．