行列$C=\left( \begin{array}{cc}
0 & \displaystyle\frac{1}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が，$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする．線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$，線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．
(2)$C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個（$n \geqq 2$）の$1$次変換によって，座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする．点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．

$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．

(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

$k$を$0<k<1$の範囲の定数とする．直線$\ell:y=kx$と曲線$C:y=|x^2-2x|$について以下の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を求めよ．ただし，$0<x_1<x_2$とする．
(2)原点を$\mathrm{O}$として，線分$\mathrm{OP}_1$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$をそれぞれ$k$の関数で表せ．
(3)$S=S_1+S_2$とする．このとき，$S$が最小となる$k$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$と曲線$C:y=x \sqrt{x}$を考える（ただし$x \geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さは，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$である．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の面積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(3)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の第$1$象限の点$\mathrm{P}$に接線を引き，$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$を第$1$象限で楕円上を動かしたときの線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．

$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．

(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．

$m>0$，$n>0$，$0<x<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{S}$，線分$\mathrm{BP}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{T}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$m,\ n,\ x$で表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$が一直線上にあるとき，$x$を$m,\ n$で表せ．