「線分」について
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私立 福岡大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{BD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[ ]$である．また，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，比$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めると$[ ]$である．
私立 日本女子大学 2013年 第1問$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PAQ}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PAQ}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積を求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第3問曲線$y=-(x-1)(x+1)^2$を$C$とし，曲線$C$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{A}$，$x$軸と交わる点のうち接点でない方を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C$上にあって，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間を動く点とし，その$x$座標を$t$とおく．また，原点を$\mathrm{O}$とおく．
(1)四角形$\mathrm{OBPA}$の面積を$t$の式で表せ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$，曲線$C$と線分$\mathrm{PB}$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$を最小にする$t$の値を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{OBPA}$の面積を$t$の式で表せ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$，曲線$C$と線分$\mathrm{PB}$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$を最小にする$t$の値を求めよ．
私立 京都産業大学 2013年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を入れよ．
$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．
$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．
私立 学習院大学 2013年 第1問$6$つの点$\mathrm{A},\ \cdots,\ \mathrm{F}$が図のように$7$つの線分$S_1,\ \cdots,\ S_7$で結ばれている．$7$つのコイン$C_1,\ \cdots,\ C_7$があり，どのコインも表が出る確率は$p$で裏が出る確率は$1-p$であるとする．これらを同時に投げて，$C_k$が表であれば$S_k$を青く塗り，$C_k$が裏であれば$S_k$を赤く塗る（$k=1,\ \cdots,\ 7$）．この試行について次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)青い線分だけをたどって$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に行くことができる確率を求めよ．
(2)青い線分だけをたどって$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$に行くことができる確率を求めよ．
（図は省略）
(1)青い線分だけをたどって$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に行くことができる確率を求めよ．
(2)青い線分だけをたどって$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$に行くことができる確率を求めよ．
私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第3問$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり，$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする．空間内の$z \geqq 0$の部分において，底面が$D$，$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える．半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$，$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ．
(2)$L$の体積を求めよ．
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり，$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする．空間内の$z \geqq 0$の部分において，底面が$D$，$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える．半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$，$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ．
(2)$L$の体積を求めよ．
私立 金沢工業大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式$\sqrt{3} \cos \theta+3 \sin \theta-\sqrt{6}>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$\displaystyle \frac{\pi}{[ア][イ]}<\theta<\frac{[ウ]}{[エ][オ]} \pi$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表せる．
(1)不等式$\sqrt{3} \cos \theta+3 \sin \theta-\sqrt{6}>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$\displaystyle \frac{\pi}{[ア][イ]}<\theta<\frac{[ウ]}{[エ][オ]} \pi$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表せる．
私立 広島修道大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 広島修道大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．線分$\mathrm{BC}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{Q}$をとる．ただし$0<s<1$，$0<t<1$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$，$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき，$s$，$t$の値を求めよ．ここで$\cdot$は内積を表す．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$，$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき，$s$，$t$の値を求めよ．ここで$\cdot$は内積を表す．