「線分」について
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国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする．線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線$\ell$を考える．$k$を正の数とし，直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるようにとる．また直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PB}$と線分$\mathrm{QC}$が$1$点で交わるようにとる．その交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，また$m$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{AP}}$により定める．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$，$m=-1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$，$m=-1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$の比に内分する点を$\mathrm{X}$，辺$\mathrm{OB}$を$y:(1-y)$の比に内分する点を$\mathrm{Y}$とする．ただし$0<x<1$，$0<y<1$とする．線分$\mathrm{YA}$と線分$\mathrm{XB}$の交点を$\mathrm{Z}$とする．
(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする．$s$を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする．$s$を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
国立 佐賀大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとる．ただし，$0<t<4$とする．さらに放物線$C:y=-x^2+7x$上に$2$点$\mathrm{B}(4,\ 12)$，$\mathrm{Q}(t,\ -t^2+7t)$をとる．$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$f(t)$とし，放物線$C$，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
国立 大分大学 2016年 第2問自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域（境界線を含む）$R_n$を考える．以下の問いに答えなさい．
(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．
(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．
国立 琉球大学 2016年 第2問座標平面上の原点$\mathrm{O}$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$の$3$点を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C_1$とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$C_1$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_1$の上側の部分の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$C_1$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_1$の上側の部分の面積を求めよ．