関数$y=-x^3+x$について以下の問いに答えよ．

(1)極値を求めグラフの概形を描け．
(2)グラフ上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^3+t) (t>0)$における接線とグラフとの交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の接線が点$(0,\ 2)$を通るとき線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

円$C:x^2+y^2-4x-5=0$，直線$L:y=2x+k$について考える（$k$は正の実数定数）．円$C$と直線$L$は，異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる．線分$\mathrm{PQ}$の長さが$4$となるとき，$k$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-15x-10y+50=0$，直線$L:y=mx$（$m$は正の実数）について考える．円$C$と直線$L$は，異なる$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ mp)$，$\mathrm{Q}(q,\ mq) (q>p)$で交わることとする．円$C$と$x$軸は，異なる$2$つの点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わる（$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$のうち，原点に近い点を$\mathrm{S}$とする）．線分$\mathrm{QR}$の長さが，線分$\mathrm{PS}$の長さの$2$倍となるとき，$\displaystyle \frac{13mp}{12}$の値を求めよ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{10}$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．この円の半径は$2$である．この円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{OC}$の共有点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{DC}$の長さが$\mathrm{DB}:\mathrm{DC}=3:2$を満たすとき，次の線分の長さを求めよ．

$(1) \quad \mathrm{DC} \qquad (2) \quad \mathrm{AD} \qquad (3) \quad \mathrm{CE}$

次の各問いに答えよ．

(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=7k$，$\mathrm{BC}=6k$，$\mathrm{CA}=5k$であり，面積が$24 \sqrt{6}$である．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．

円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2 \sqrt{7},\quad \mathrm{BE}=4,\quad \mathrm{DE}=3,\quad \angle \mathrm{DEC}=60^\circ \]
であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径$R$を求めよ．

正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=t$，$\mathrm{BD}=\mathrm{CE}=\mathrm{AF}=1-t$が成り立っている．さらに直線$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{BF}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(1)線分$\mathrm{FR}$の長さを$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は三角形$\mathrm{CFR}$の面積の何倍かを$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が三角形$\mathrm{PQR}$の面積の$2$倍となるとき，$t$の値をすべて求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AC}=5$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる（ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と一致しない）．また，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}=\mathrm{AC}$の場合，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AD}=t$として，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値は$t$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．