座標平面上に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 0)$がある．$0<t<1$のとき，線分$\mathrm{AO}$，$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$t=0$，$t=1$のとき，$\mathrm{R}$はそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に一致するものとし，$t$を$0 \leqq t \leqq 1$の範囲で動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{R}$と原点$\mathrm{O}$の距離の最小値を求めよ．
(3)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$t$を$0<t<1$を満たす実数とするとき，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表しなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AE}$上にあるとき，$t$の値を求めなさい．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする．半径$1$の円（以下，「動円」と呼ぶ）は，円$\mathrm{A}$に外接しながら，すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として，$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．
（図は省略）

(1)$C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ．
(3)$C$の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる．

円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．

平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2 \overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DR} \perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．

$xy$平面上に中心$(1,\ 0)$，半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

$2$つの直線$\ell_1:y=-2x+3$と$\ell_2:y=5$の交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた円を$C_1$とし，円$x^2+y^2=4$を$C_2$とする．

(i) 点$(\alpha,\ \beta)$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき
\[ \alpha-5 \beta+4=0 \]
が成り立つことを示せ．
(ii) $C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ．

$-1<x<1$で定義される関数$f(x)=2x+\sqrt{5-5x^2}$について，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$は上に凸であることを示し，$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$との距離が最大となる点を$\mathrm{A}$，最小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，線分$\mathrm{OA}$，線分$\mathrm{OB}$，および曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

右図のような四面体$\mathrm{OABC}$がある．各面$\mathrm{ABC}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$，$\mathrm{OAB}$の \\
重心を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とおく．次の問いに答えよ．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{U}$は，実数$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s \overrightarrow{\mathrm{OP}} (0 \leqq s \leqq 1)$と表され，線分$\mathrm{AQ}$上の点$\mathrm{V}$は，実数$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OQ}} (0 \leqq t \leqq 1)$と表される．このことを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(4)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$の中から必要なものを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をそれぞれ表せ．また，点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BR}$および線分$\mathrm{CS}$上にあることを示せ．

半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．