「線分」について
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国立 山梨大学 2013年 第3問$s,\ t,\ u$を正の実数とする．点$\mathrm{O}$を内部に含む$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると，$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．直線$\mathrm{CO}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\triangle \mathrm{BCO}$の面積を$S_A$，$\triangle \mathrm{CAO}$の面積を$S_B$，$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_C$とする．
(1)面積の比$S_A:S_B$は，線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$に等しいことを示せ．
(2)比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)比$S_A:S_B:S_C$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(1)面積の比$S_A:S_B$は，線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$に等しいことを示せ．
(2)比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)比$S_A:S_B:S_C$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
国立 名古屋工業大学 2013年 第4問三角形$\mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第2問図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第3問曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．
国立 岩手大学 2013年 第4問平面上の一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{O}$を端点とし$\mathrm{A}$の方向に伸びた半直線$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第4問平面上の一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{O}$を端点とし$\mathrm{A}$の方向に伸びた半直線$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
国立 高知大学 2013年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 香川大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
国立 佐賀大学 2013年 第1問一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$において，線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
国立 岩手大学 2013年 第3問座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とし，$0<\alpha<1$，$0<\beta<1$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\alpha$，$\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\alpha$，$\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．