辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=k \ (0<k<1)$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする．ただし，点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，放物線$C:y=1-x^2$がある．$C$上に$2$点$\mathrm{P}(p,\ 1-p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ 1-q^2)$を$p<q$となるようにとる．

(1)$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積$S$を，$p$と$q$の式で表せ．
(2)$q=p+1$であるとき$S$の最小値を求めよ．
(3)$pq=-1$であるとき$S$の最小値を求めよ．

実数$t$が$0 \leqq t<8$をみたすとき，点$\mathrm{P}(t,\ t^3-8t^2+15t-56)$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の異なる接線が引けることを示せ．
(2)$(1)$での$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$と放物線$y=x^2$で囲まれた領域の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形は$2$つある．それぞれの正三角形について，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の頂点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$2$点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{C}$とする．$t$を動かすとき，点$\mathrm{C}$の軌跡を図示せよ．
(3)$k$を定数とする．点$\mathrm{B}$と直線$y=kx$上の点$\mathrm{P}$をそれぞれうまく選ぶことで$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を頂点とする正三角形ができるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$かつ$\angle \mathrm{AOB}=\theta \ (0<\theta<\pi)$を満たすとする．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$t>1$として，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$となるように定める．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$のとき，$S$を$t$のみを用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$のとき，$S$が最大となる$t$の値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$\ell$とし，行列
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta
\end{array} \right) \]
の表す$1$次変換を$f$とする．座標平面上に$2$点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$がある．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき，$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ．
(2)$1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ．さらに等号が成立する場合を調べよ．
(3)$1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．

線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$は次の条件を満たす．
\[ \mathrm{AC}^2=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CB} \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}$とおく．自然数$n$について，
\[ \alpha^{n+1}=\alpha^n+\alpha^{n-1} \]
が成り立つことを証明せよ．