$xyz$空間において，$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で接し，中心が$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$であるような球面を$S$とする．点$\mathrm{P}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 3)$に点光源をおくとき，$xy$平面上にできる$S$の影$S^\prime$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{[キ]}$である．$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]},\ [シ],\ \frac{[ス]}{[セ]} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$の円である．
(3)影$S^\prime$は長軸の長さが$[チ] \sqrt{[ツ]}$の楕円の内部である．

平面上に同一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が与えられているとし，$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしているとする．線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BP}$を延長した直線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．


(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ][ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[エ]}{[オ][カ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[キ]:[ク]$に内分する点であり，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ケ]:[コ]$に内分する点である．
(3)$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$S$，四角形$\mathrm{CQPR}$の面積を$T$とおくと，
\[ S:T=[サ]:[シ][ス] \]
である．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (0 \leqq a<b)$に対して，$L(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$の長さとし，$S(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積とする．さらに，$T(a,\ b)$を$a \leqq x \leqq b$の範囲で放物線$y=x^2$と$x$軸で囲まれた図形の面積とする．

(1)$(ⅰ)$ $\displaystyle L(0,\ t)=\frac{1}{2}L(0,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t^2=\frac{1}{[ア]}(\sqrt{[イ]}-[ウ])$となるときである．
$(ⅱ)$ $L(0,\ t)=L(t,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t=\frac{1}{[エ]}(\sqrt{[オ]}-[カ])$のときである．
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle S(0,\ t)=\frac{1}{2}S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[キ]}{[ク]}$となるときである．

$(ⅱ)$ $T(t,\ 2)=S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[ケ]}{[コ]}$となるときである．

平面上に三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$，線分$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分した点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$を$s,\ t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．ただし，$0<s<1$，$0<t<1$とする．
(3)線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{EA}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle s=\frac{1}{3},\ t=\frac{2}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)$(3)$で用いた$s,\ t$の値に対し，線分$\mathrm{OF}$の中点を$\mathrm{H}$，線分$\mathrm{DE}$を$k:(1-k)$に内分した点を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{H}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるときの$k$の値を求めよ．

辺$\mathrm{AB}$の長さが$4$，辺$\mathrm{AE}$の長さが$\sqrt{6}$の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{HM}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{PR}$の長さが等しくなるように，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とする．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{d}+[シ] \overrightarrow{e}$と表される．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=[ス] \overrightarrow{b}+[セ] \overrightarrow{d}$と表される．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$\sqrt{7}$であるとき，辺$\mathrm{AD}$の長さは$[ソ]$である．

$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$で定める．

(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

$f(x)=x(x-2)-6 |x|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t)) (t>0)$を通る接線が曲線$y=f(x)$の$x<0$の部分と点$\mathrm{B}$で接しているとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$において曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．

$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．