「線分」について
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（48ページ目：全1074問中471問～480問を表示）
私立 東北学院大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{BC}=3$，$\angle \mathrm{BCA}=\theta$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第3問$a$を負の定数とし，放物線$y=a(x+1)(x-3)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ -3a)$における$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 広島工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．
(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．
私立 広島工業大学 2014年 第7問$1$辺の長さが$3$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BDE}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，外接円の半径と$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
(3)三角すい$\mathrm{ABDE}$の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BDE}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，外接円の半径と$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
(3)三角すい$\mathrm{ABDE}$の体積を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．
(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．
私立 九州産業大学 2014年 第2問直線$-3x+y-5=0$を$\ell_1$，直線$x+3y-15=0$を$\ell_2$，直線$-x+2y-5=0$を$\ell_3$とする．また，直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell_2$と直線$\ell_3$の交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell_1$と直線$\ell_3$の交点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AD}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$，点$\mathrm{C}$の座標は$([オカ],\ [キ])$である．
(2)垂線$\mathrm{AD}$の長さは$\sqrt{[ク]}$であり，点$\mathrm{D}$の座標は$([ケ],\ [コ])$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[サ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{[シス]}-\sqrt{[セ]}$である．
(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$，点$\mathrm{C}$の座標は$([オカ],\ [キ])$である．
(2)垂線$\mathrm{AD}$の長さは$\sqrt{[ク]}$であり，点$\mathrm{D}$の座標は$([ケ],\ [コ])$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[サ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{[シス]}-\sqrt{[セ]}$である．
私立 成城大学 2014年 第2問直線$\ell:y=2x+1$と$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$がある．
(1)直線$\ell$上にあり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から等距離にある点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心として，線分$\mathrm{AB}$に接する円の方程式を求めよ．
(1)直線$\ell$上にあり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から等距離にある点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心として，線分$\mathrm{AB}$に接する円の方程式を求めよ．
私立 獨協医科大学 2014年 第5問関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．
（図は省略）
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．
私立 北里大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち$\mathrm{A}$でないものを$\mathrm{E}$とする．以下の問に答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 昭和薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．
(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．