原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0)$をとる．ただし$a>1$とする．$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$本の接線の接点を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．

実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．

南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，$A_0$，$B_0$，$C_0$，$D_0$，$E_0$であり，北の端点は，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$D$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．

(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合

$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると，
\[ A \left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right) \]
が成り立つ．$c$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4)$(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$を線分$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角二等辺三角形とし，その外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．正の実数$p$に対して，$\mathrm{BC}$を$(p+1):p$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{X}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p$を用いて表せ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え，$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする．$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする．このとき，$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$x_k$を$k$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．

曲線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{QR}$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)$\mathrm{R}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直であるときの$S$の最小値を求めよ．

$t$を正の実数とする．三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$は線分$\mathrm{BM}$と直交し，かつ$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線であるとする．このとき，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の長さの比と$t$の値を求めよ．

平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$，$C_2$があり，$C_1$と$C_2$も互いに外接している．$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた領域内に，これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る．同様に$\ell$，$C_n$，$C_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり，これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする．円$C_n$の半径を$r_n$とし，$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$r_1=16$，$r_2=9$とする．

(1)$\ell$が$C_1$，$C_2$，$C_3$と接する点を，それぞれ$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$とおく．線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ．
(2)ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．$a,\ b$の値も求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対して，$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とする．$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．
(4)$(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して，
\[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを示し，数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
（図は省略）