$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

$1$個のサイコロを$3$回続けて投げる．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を起点とし$1$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を増加させた点を$\mathrm{A}$とする．次に，点$\mathrm{A}$を起点とし$2$回目に出た目と同じ数だけ$y$座標を増加させた点を$\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を起点とし$3$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を減少させた点を$\mathrm{C}$とする．また，四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$S$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$になる確率を求めよ．
(4)面積$S$が整数になる確率を求めよ．
(5)面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$として$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 2)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3$の正三角形とする．辺$\mathrm{BC}$の延長線上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$である点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と$\angle \mathrm{B}$の二等分線との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．

$a>3$とし，座標平面上に円$C:x^2+y^2=9$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．このとき次の問いに答えなさい．

(1)円$C$上に点$\mathrm{Q}(x_0,\ y_0)$をとり，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．このとき点$\mathrm{R}$の座標を$a,\ x_0,\ y_0$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{R}$の軌跡と円$C$の共有点が$1$つのみであるとき，共有点の座標と$a$の値を求めなさい．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．線分$y=\sqrt{3}x (0 \leqq x \leqq 2)$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x (-2 \leqq x \leqq 0)$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)$s$を$0 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．線分$y=\sqrt{3}x (0 \leqq x \leqq 2)$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x (-3 \leqq x \leqq 0)$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)$s$を$-3 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．

双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の第$1$象限にある部分と，原点$\mathrm{O}$を中心とする円の第$1$象限にある部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$つの異なる点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線$\ell$と線分$\mathrm{OA}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{6}$であるとする．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．

空間内にある半径$1$の球（内部を含む）を$B$とする．直線$\ell$と$B$が交わっており，その交わりは長さ$\sqrt{3}$の線分である．

(1)$B$の中心と$\ell$との距離を求めよ．
(2)$\ell$のまわりに$B$を$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．