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私立 崇城大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}$は鋭角である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が$3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとき，線分$\mathrm{PA}$の長さを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が$3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとき，線分$\mathrm{PA}$の長さを求めよ．
私立 崇城大学 2015年 第3問放物線$y=x^2+kx+1$と$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(2,\ 4)$がある．次の各問に答えよ．
(1)この放物線と直線$\mathrm{OP}$が異なる$2$個の共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)この放物線と線分$\mathrm{OP}$が異なる$2$個の共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(1)この放物線と直線$\mathrm{OP}$が異なる$2$個の共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)この放物線と線分$\mathrm{OP}$が異なる$2$個の共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．
私立 天使大学 2015年 第5問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えなさい．
(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
私立 近畿大学 2015年 第3問座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．
(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．
(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．
(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．
(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．
私立 近畿大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$t$は$\displaystyle 0<t<\frac{1}{3}$の範囲にある実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$3t:1-3t$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$k$倍となるとき，$k$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$が直角に交わるとき$t$の値を求めよ．
(1)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$t$は$\displaystyle 0<t<\frac{1}{3}$の範囲にある実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$3t:1-3t$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$k$倍となるとき，$k$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$が直角に交わるとき$t$の値を求めよ．
私立 昭和薬科大学 2015年 第3問$1$辺の長さが$6$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．辺$\mathrm{FG}$の中点を$\mathrm{I}$とし，辺$\mathrm{GH}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{J}$とする．また，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{K}$とし，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に向かう単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}},\ \overrightarrow{\mathrm{AJ}}$を$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$を通る平面と垂直なベクトル$\overrightarrow{n}$が$\overrightarrow{n}=-3 \overrightarrow{i}+a \overrightarrow{j}+b \overrightarrow{k}$と表されるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BK}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}},\ \overrightarrow{\mathrm{AJ}}$を$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$を通る平面と垂直なベクトル$\overrightarrow{n}$が$\overrightarrow{n}=-3 \overrightarrow{i}+a \overrightarrow{j}+b \overrightarrow{k}$と表されるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BK}$の長さを求めよ．
私立 京都薬科大学 2015年 第2問次の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(6,\ 6)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ -2)$，$\mathrm{D}(-6,\ -6)$がある．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標は$([ア],\ [イ])$であり，外接円の半径は$[ウ]$である．この円を$C$とする．
(2)円$C$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{DP}$を$1:2$に内分する点の軌跡は円になる．この円の中心の座標は$([エ],\ [オ])$であり，半径は$[カ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$での円$C$の接線を$\ell_1$とする．接線$\ell_1$の方程式は$y=[キ]x+[ク]$であり，$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{E}$の座標は$([ケ],\ 0)$である．
(4)点$\mathrm{E}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本ある．$\ell_1$と異なる接線を$\ell_2$とし，$\ell_2$は点$\mathrm{F}$で円$C$に接するとする．点$\mathrm{F}$の座標は$([コ],\ [サ])$であり，$\ell_2$の方程式は$y=[シ]x+[ス]$である．
座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(6,\ 6)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ -2)$，$\mathrm{D}(-6,\ -6)$がある．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標は$([ア],\ [イ])$であり，外接円の半径は$[ウ]$である．この円を$C$とする．
(2)円$C$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{DP}$を$1:2$に内分する点の軌跡は円になる．この円の中心の座標は$([エ],\ [オ])$であり，半径は$[カ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$での円$C$の接線を$\ell_1$とする．接線$\ell_1$の方程式は$y=[キ]x+[ク]$であり，$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{E}$の座標は$([ケ],\ 0)$である．
(4)点$\mathrm{E}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本ある．$\ell_1$と異なる接線を$\ell_2$とし，$\ell_2$は点$\mathrm{F}$で円$C$に接するとする．点$\mathrm{F}$の座標は$([コ],\ [サ])$であり，$\ell_2$の方程式は$y=[シ]x+[ス]$である．
私立 明治大学 2015年 第1問次の$[ ]$に適する数を入れよ．
(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$から構成される．部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する．製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき，製品$\mathrm{A}$は不良品となる．製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき，それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である．
(2)$a$を実数，$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく．関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする．$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$から構成される．部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する．製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき，製品$\mathrm{A}$は不良品となる．製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき，それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である．
(2)$a$を実数，$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく．関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする．$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
私立 中京大学 2015年 第5問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=k$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$の四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，底面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は定数$l,\ m,\ n$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=l \overrightarrow{a}+m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c} (l+m+n=1)$と表される．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が垂直であるとき，$l-m-([ア]-\sqrt{[イ]})n=0$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が底面$\mathrm{ABC}$と垂直であるとき，$\displaystyle l=[ウ]-\frac{\sqrt{[エ]}}{2}$，$m=\sqrt{[オ]}-[カ]$であり，さらに線分$\mathrm{OH}$の長さが$2$であるとき，$k^2=[キ] \sqrt{2}$である．
私立 久留米大学 2015年 第1問原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．
(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．
(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．