座標平面において，極方程式$r=2 \cos \theta$で表される曲線を$C$とし，$C$上において極座標が$\displaystyle \left(\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4} \right)$，$(2,\ 0)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\mathrm{A}$を中心とし，線分$\mathrm{AB}$を半径にもつ円を$D$とする．

(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．

正$n$角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \cdots \mathrm{P}_n$（$n$は$4$以上の整数）を$K$とする．$K$の頂点と各辺の中点の合計$2n$個の点から異なる$3$点を選び，それらを線分で結んでできる図形を$T$とする．（ただし，$K$の$1$つの頂点とそれに隣接する中点の一方を結ぶ線分を$1$辺とする三角形，例えば辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}_1$として，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{M}_1 \mathrm{P}_3$なども「$K$と辺を共有する三角形」とする．）

(1)$n=5$とする．
$T$が三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウエ]}$である．
$T$が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)$T$が三角形となる確率は
\[ \frac{[コ]n^2-[サ]n-[シ]}{[ス]([セ]n-[ソ])(n-[タ])} \]
である．
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は
\[ \frac{[チ]n^2-[ツテ]n+[トナ]}{([セ]n-[ソ])(n-[タ])} \]
である．

$a,\ b$を実数の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 1)$がある．

三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ \frac{[ウエ]}{[オ]},\ \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]},\ \frac{[コ]}{[サ]},\ \frac{[シ]}{[ス]} \right) \]
である．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$に垂直で，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直であるとする．このとき$a=[セソ]$，$\displaystyle b=\frac{[タ]}{[チ]}$である．以下で，$a,\ b$はこの値であるとする．
線分$\mathrm{CK}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直になるように点$\mathrm{L}$をとるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\left( [ツ],\ [テ],\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right) \]
である．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．
平面$\mathrm{OAB}$において，三角形$\mathrm{KAB}$の外接円の周上に点$\mathrm{P}$をとるとき，線分$\mathrm{LP}$の長さの最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニヌ]}}{[ネ]}$である．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CD}$を$n:(1-n)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<m<1$，$0<n<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と対角線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$0<\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})<|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$が成り立つことを示せ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる$t$の値を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$となるようにとり，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\mathrm{AC}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 {\left( x \sqrt{1-x^2} \right)}^3 \, dx=\frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)座標平面における曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \sqrt{x} (x>0)$上に点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分$\mathrm{OP}$を考える．線分$\mathrm{OP}$と曲線$C$により囲まれた図形の面積を$A$とし，線分$\mathrm{OP}$を一辺とする正方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，面積比$\displaystyle \frac{A}{S}$のとり得る最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エ]}{[オカ]}$である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 6,\ 0)$，$\mathrm{D}(-6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -6,\ 0)$と線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AC}$上を動く．線分$\mathrm{MP}$，$\mathrm{PD}$の長さの和$l=\mathrm{MP}+\mathrm{PD}$の最小値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を$(2)$で求めたものとする．平面$\mathrm{MPD}$上に線分$\mathrm{BE}$の中点$\mathrm{N}$があることを証明せよ．

\end{mawarikomi}

放物線$y=x^2+6x+5$と直線$y=2x+k$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，線分$\mathrm{AB}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，定数$k$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする空間において，$3$点$\mathrm{P}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{R}(2,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．また，平面$\alpha$上に，点$\mathrm{P}$を中心とし，線分$\mathrm{PR}$を半径とする円$C$がある．このとき，原点$\mathrm{O}$と平面$\alpha$との距離は$[サ]$であり，原点$\mathrm{O}$と円$C$の周上の点との距離の最大値は$[シ] \sqrt{[ス]}$である．