平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の延長上に$\mathrm{AB}=\mathrm{BD}$となる点$\mathrm{D}$がある．同様に，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CE}$となる点$\mathrm{E}$が，辺$\mathrm{CA}$の延長上に$\mathrm{CA}=\mathrm{AF}$となる点$\mathrm{F}$がそれぞれある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{GE}$と線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{FD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．このとき，次の比を求めよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{CH}:\mathrm{HA}$
(2)$\mathrm{BI}:\mathrm{IA}$
(3)$\mathrm{DJ}:\mathrm{JF}$

$p,\ q,\ m$を実数とする．放物線$y=-x^2+2px+q$を$C$とし，その頂点は直線$y=mx-3$上にあるとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$q$を$p,\ m$を用いて表しなさい．
(2)$C$の頂点の$x$座標が$-4$のとき，$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるように，$m$の値の範囲を定めなさい．また，そのとき$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$m$を用いて表しなさい．
(3)$p$の値にかかわらず，$C$と$y$軸の共有点の$y$座標が負となるように，$m$の値の範囲を定めなさい．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$は，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$で$\mathrm{AB}=1$の直角二等辺三角形である．この$\triangle \mathrm{ABC}$の中に下図のように長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$をおき，頂点$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{Q}_1$が線分$\mathrm{AB}$上に，頂点$\mathrm{P}_4$と$\mathrm{Q}_4$が線分$\mathrm{AC}$上にあるようにする．さらに，頂点$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_3$がともに線分$\mathrm{BC}$上に，頂点$\mathrm{Q}_2$と$\mathrm{Q}_3$がともに線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$上にあるようにする．$x=\mathrm{BP}_2$，$y=\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)$x$の値を固定して$y$の値を変化させるとき，長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和の最大値を$S(x)$とおく．このとき，$S(x)$を，$x$を用いて表せ．
(3)$x$の値を変化させるとき，$(2)$で求めた$S(x)$の最大値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．