「線分」について
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国立 愛媛大学 2015年 第2問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．
(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．
国立 高知大学 2015年 第4問$0 \leqq t<2\pi$とする．関数$f(x)=2x^2+(2+\sin t)x+\cos^2 t-2$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，$y=f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$t$がどのような値であっても，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$つの共有点を持つことを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフが，$x$軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，$y=f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$t$がどのような値であっても，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$つの共有点を持つことを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフが，$x$軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2015年 第5問$\triangle \mathrm{OAB}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2$，$\angle \mathrm{AOB}={60}^\circ$を満たすとする．また，$k$を実数とし，辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{M}$を$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$と定める．さらに，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$k$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2$となる$k$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$k$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2$となる$k$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第4問座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{N}$，直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{AN}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\mathrm{OB}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RL}$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RL}$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．