ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

座標空間において$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ -3,\ 6)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 2)$とし，線分$\mathrm{AB}$を$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\mathrm{OD}=3 \sqrt{3}$を満たす点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．

座標空間において$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ -3,\ 6)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 2)$とし，線分$\mathrm{AB}$を$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\mathrm{OD}=3 \sqrt{3}$を満たす点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{6},\ \sqrt{2})$，$\mathrm{C}(\sqrt{6},\ 3 \sqrt{2})$に対して，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は線分$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$の垂直二等分線が点$\mathrm{C}$で交わるという条件を満たす点とする．ただし，$q>\sqrt{2}$である．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BP}$へ下ろした垂線と点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AP}$へ下ろした垂線が点$\mathrm{T}(s,\ t)$で交わっているとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．

$a$を実数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ -1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

点$\mathrm{P}(0,\ 4)$を通る傾き$\displaystyle \frac{1}{5}$の直線を$\ell$とし，曲線$y=|x(x-4)|$を$C$とする．

(1)$\ell$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(2)$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a>0$かつ$b<a^2$）がある．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$が，$C$および$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QM}}$となるように点$\mathrm{M}$を，また$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$となるように点$\mathrm{N}$をとる．直線$\mathrm{MN}$が$C$と交わる点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．

(1)直線$\mathrm{AP}$および直線$\mathrm{BP}$は，それぞれ$C$の接線であることを示せ．
(2)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積は，$\ell$により二等分されることを示せ．