（注：出題ミスで解けません）一辺の長さが$5$である正三角形$\mathrm{ABC}$とその外接円がある．図のように，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と異なる側で$\mathrm{AD}=6$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{BD}+\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
（図は省略）

三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CF}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\ell$と$m$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について，$14 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+9 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとする．四面体$\mathrm{OABC}$，$\mathrm{PABC}$の体積をそれぞれ$V_1$，$V_2$とするとき，$V_1:V_2$を以下の手順で求めよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{BC}$を$7:9$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか説明せよ．
(4)$V_1:V_2$を求めよ．

実数$a,\ b,\ c$は，$a<b<c$，$a+b+c=0$を満たしている．このとき，放物線$C:y=ax^2+bx+c$を考える．

(1)$C$は$x$軸と異なる$2$点で交わることを示せ．
(2)$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$L$とする．このとき，$L^2$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$で定義した$L$の値の範囲を求めよ．

$\mathrm{AC}=\sqrt{6}$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{12}$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{PAQ}=\angle \mathrm{QAC}$が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{PC}$の長さを求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=4$，
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{CQ}$，線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-3,\ -2,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．次の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{AD}$の長さの比を求めなさい．

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-1)^2 \]
がある．$a$は$0$でない実数とし，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(-2a,\ 4a^2)$を通る直線と平行な$C_1$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を$a$で表せ．
(2)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をもつとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{RS}$の長さが等しくなるとき，$a$の値を求めよ．

$6$個の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が下図のように長さ$1$の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを$X$とする．そのような経路がない場合は$X$を$0$とする．このとき，$n=0,\ 2,\ 4$について，$X=n$となる確率を求めよ．
（図は省略）