以下の$[　]$にあてはまる適切な数を記入しなさい．

(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[　]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[　]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[　]$である．

(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[　]$である．

(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．

$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)直線$y=ax+b$が点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{5}{4} \right)$を通るときの，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

$0<r<1$を満たす実数$r$に対して，第$1$象限内の曲線$C:x^r+y^r=1$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$をとり，$\ell$を点$\mathrm{P}$における$C$の接線とし，$\ell$が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を曲線$C$上のどこにとっても線分$\mathrm{AB}$の長さが同じになるような$r$の値を求めよ．

数直線上に$2$点$\mathrm{Q}(-1)$と$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( \frac{1}{2} \right)$をとり，線分$\mathrm{QP}_1$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_2$，線分$\mathrm{QP}_2$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_3$とする．以下同様に$n=1,\ 2,\ \cdots$に対し線分$\mathrm{QP}_n$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．また$\mathrm{P}_n$の座標を$a_n$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$を数直線上の$\mathrm{Q}$と異なる点とする．線分$\mathrm{QA}$を$3:1$に外分する点が$\mathrm{P}_1$であるとき，$\mathrm{A}$の座標$a$を求めなさい．
(2)すべての自然数$n$に対して
\[ a_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n-1 \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明しなさい．
(3)$999<a_n<9999$をみたす自然数$n$をすべて求めなさい．ただし，本問では$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正である．正の実数$m$に対し，$2$直線$y=mx$，$y=-mx$を漸近線にもち，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする．第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ．

$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=3:2$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$が線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線の交点であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

平面上に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CD}$，辺$\mathrm{DA}$それぞれを$1:2$に内分する点を順に$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{EG}$と線分$\mathrm{FH}$の交点を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{EI}:\mathrm{IG}=t:(1-t)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HI}:\mathrm{IF}=u:(1-u)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$u$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．

$y$軸上に点$\mathrm{A}$，$x$軸上に点$\mathrm{B}$という異なる$2$点をとる．線分$\mathrm{AB}$を$a:b$に外分する点を$\mathrm{C}$とし，その座標を$(p,\ q)$とする．このとき$b^2p^2+a^2q^2$の値を$p,\ q$を用いずに表せ．