座標平面上に直線$\ell:y=mx-4m$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．$m$は，$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるような値をとるとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\ell$は$m$の値にかかわりなく，ある定点を通る．この点の座標を求めよ．
(2)$m$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上にそれを図示せよ．

下の図において，円$\mathrm{O}$の直径$\mathrm{AB}$と弦$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{PC}=2$，$\mathrm{PD}=3$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ODC}$の面積を求めなさい．
（図は省略）

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，また線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$として，次の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{DCE}$の面積比を求めよ．

直線$\ell:y-2x-4=0$と，直線$\ell$に垂直で原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通る直線$m$との交点を$\mathrm{X}$とする．点$\mathrm{X}$の座標は$[　]$であり，線分$\mathrm{OX}$の長さは$[　]$である．

正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=[　]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=[　]$である．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[　]}{[　]}$である．

正の定数$k$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{x^3}{3}$の接線で傾きが$k^2$のものを$\ell_1,\ \ell_2$とする．$C$と$\ell_1,\ \ell_2$の接点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ，第$1$，第$3$象限にあるとする．また，$C$と$\ell_1$との共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものを$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(b,\ b^2) (a<b)$を考える．$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$から$x$軸に下ろした垂線と$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とする．いま，$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{AP}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}$である．
(2)$10 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+m \overrightarrow{\mathrm{QB}}+n \overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成立するならば$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．
(3)$\mathrm{AC}:\mathrm{AR}=1:[$5$]$であり，$\mathrm{BR}:\mathrm{BQ}=1:[$6$]$である．

一辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．まず辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$を決め，辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DA}$上の点$\mathrm{H}$を「四角形$\mathrm{EFGH}$が長方形になる」ようにとる．線分$\mathrm{BE}$の長さを$x (0<x<1)$とおき，以下の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{BF}$の長さを$x$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FCG}$の面積を$x$で表せ．