次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

座標平面上に

円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$

があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

正八角形$\mathrm{ABCDEFGH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{HG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{AF}$と線分$\mathrm{DH}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3$等分した点を，点$\mathrm{A}$に近い方から$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．また点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=l \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を満たすものとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$が線分$\mathrm{BE}$上にあるとき$l$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき面積比$\triangle \mathrm{EOF}:\triangle \mathrm{BDF}$を求めよ．

$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．

(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である．また，等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると，$(a,\ b,\ c)=[イ]$である．
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=[エ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である．また，$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)$a \geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=[ク]$である．