「線分」について
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国立 長岡技術科学大学 2010年 第1問平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．
国立 千葉大学 2010年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$は，1辺の長さが1の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．直線$\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t \overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$\triangle \mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第1問平面上に大きさが1のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさが2のベクトル$\overrightarrow{b}$があり，そのなす角が$60^\circ$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \ (k \neq -1)$となる$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{C}$を通る直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第1問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{DE}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{X}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 福岡教育大学 2010年 第4問空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交している．次の問いに答えよ．
(1)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \]
となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2)(1)を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．
(1)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \]
となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2)(1)を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第6問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right)$と点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{X}_0(1,\ 0)$がある．行列$A$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_1$へ移り，行列$A^2$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_2$へ移るものとする．以下同様に正の整数$n$について，行列$A^n$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_n$へ移るものとする．
(1)行列$A$は，$\alpha>0$と$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を使って$A=\alpha \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と変形できる．$\alpha$と$\theta$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1$の面積$S_1$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$の面積$S_2$を求めよ．
(4)$1 \leqq n<12$とする．線分$\mathrm{OX}_0$，$\mathrm{X}_0 \mathrm{X}_1$，$\cdots$，$\mathrm{X}_{n-1} \mathrm{X}_n$，$\mathrm{X}_n \mathrm{O}$で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$を使って表せ．
\displaystyle\frac{3}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right)$と点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{X}_0(1,\ 0)$がある．行列$A$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_1$へ移り，行列$A^2$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_2$へ移るものとする．以下同様に正の整数$n$について，行列$A^n$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_n$へ移るものとする．
(1)行列$A$は，$\alpha>0$と$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を使って$A=\alpha \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と変形できる．$\alpha$と$\theta$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1$の面積$S_1$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$の面積$S_2$を求めよ．
(4)$1 \leqq n<12$とする．線分$\mathrm{OX}_0$，$\mathrm{X}_0 \mathrm{X}_1$，$\cdots$，$\mathrm{X}_{n-1} \mathrm{X}_n$，$\mathrm{X}_n \mathrm{O}$で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$を使って表せ．
私立 早稲田大学 2010年 第4問$xyz$空間において，2点P$(1,\ 0,\ 1)$，Q$(-1,\ 1,\ 0)$を考える．線分PQを$x$軸の周りに1回転して得られる曲面を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1)曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．
(1)曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第3問座標平面上で，C$_1$，C$_2$，C$_3$を，それぞれ，中心が$(0,\ 0),\ (3,\ 0),\ (5,\ 0)$，半径が$2,\ 1,\ 1$である円周とする．点Pは点$(2,\ 0)$を出発点とし，円周C$_1$上を反時計回りに等速で$2a$秒で一周する．点Qは点$(4,\ 0)$を出発点とし，先ず円周C$_2$上を反時計回りに等速で$a$秒で一周し，続いて円周C$_3$上を時計回りに等速で$a$秒で一周する．\\
\quad 点P，Qが同時に出発するとき，線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ．
\quad ただし，$a$は正の定数である．
\quad 点P，Qが同時に出発するとき，線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ．
\quad ただし，$a$は正の定数である．
私立 早稲田大学 2010年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第5問半径1の円Oの中心Oを通る直線上に$\text{OA}=2$となるように点Aを定める．点Aを通り，円Oと2点B，Cで交わるような直線を引き，$\text{AB}=\text{BC}$となるようにしたい．2直線のなす角$\theta = \angle \text{OAB} \ (0^\circ <\theta<30^\circ)$をどのように定めればよいか．次の手順で検討せよ．
(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．