$a$を$a>1$を満たす定数とする．原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び，点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．

(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．

平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．

$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．

$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:4$とする．また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，

線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$

とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

四角形ABCDは次の条件を満たす．

\mon[(i)] $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$
\mon[(ii)] $\text{BD}=1,\ \angle \text{ABD}=90^\circ$

線分ACと線分BDとの交点をEとする．線分ABを3等分して，点Aに近い分点をMとし，点Bに近い分点をNとする．$\angle \text{CAB}=\alpha,\ \angle \text{MDN}=\beta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$を求めよ．
(2)$\tan \beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ．

$k$は実数で，$k>1$とする．このとき，Oを原点とする座標平面上の2つの曲線
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:y=kx^2-\frac{5}{4} \]
は，$x$座標が正となる2つの交点A，Bを持つ．以下の問いに答えよ．

(1)A，Bの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha^2+\beta^2$および$\alpha^2 \beta^2$を$k$を用いて表せ．
(2)線分ABの長さを求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}=150^\circ$のとき，$k$の値を求めよ．

曲線$C_1:y=x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線が曲線$C_2:y=x^2-4$と交わる点をB，Cとする．ただし，Bの$x$座標はCの$x$座標より小さいとする．以下の問いに答えよ．

(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき，$\triangle$OABは正三角形であることを示せ．

平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．

(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．