「線分」について
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国立 高知大学 2010年 第2問三角形OABにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，点CとDを$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{b}$によりそれぞれ定める．また，線分ADとBCの交点をEとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\text{AE}:\text{AD}=t:1 \ (0<t<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\text{BE}:\text{BC}=s:1 \ (0<s<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)(1)と(2)を利用することにより，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)OE，AB，CDの中点をそれぞれP，Q，Rとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \frac{\text{PR}}{\text{PQ}}$の値を求めよ．
(1)$\text{AE}:\text{AD}=t:1 \ (0<t<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\text{BE}:\text{BC}=s:1 \ (0<s<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)(1)と(2)を利用することにより，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)OE，AB，CDの中点をそれぞれP，Q，Rとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \frac{\text{PR}}{\text{PQ}}$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
国立 香川大学 2010年 第3問原点をOとする．$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$で表される移動を$f$とし，$f$により点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{OQ}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}_1=\mathrm{P},\ \mathrm{P}_2=\mathrm{Q}$とし，$f$により点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とおく．点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots$が1直線上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$で表される移動を$f$とし，$f$により点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{OQ}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}_1=\mathrm{P},\ \mathrm{P}_2=\mathrm{Q}$とし，$f$により点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とおく．点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots$が1直線上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第2問四面体OABCは，$\text{OA}=\sqrt{5},\ \text{OB}=\text{OC}=5,\ \text{AB}=\text{AC}=\sqrt{30},\ \text{BC}=5\sqrt{2}$を満たすものとする．辺OBを$2:1$に外分する点をD，辺OCを$3:2$に外分する点をEとする．Oから直線DEに引いた垂線と直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分OFの長さと線分AFの長さおよび$\cos \angle \text{OFA}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分OFの長さと線分AFの長さおよび$\cos \angle \text{OFA}$の値を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第2問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第1問原点をOとし，空間内に3点A$(4,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 0)$，C$(2,\ 1,\ 2)$をとる．線分BCを$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点をPとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．
(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．
国立 長崎大学 2010年 第2問正三角形ABCにおいて，線分ABを$2:1$に内分する点をD，線分BCの中点をE，点Eから直線ABに引いた垂線とABの交点をHとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{HE}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{DB}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分HE上の点Fが$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$を満たすとき，Fは線分EHを$2:1$に内分することを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{DB}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分HE上の点Fが$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$を満たすとき，Fは線分EHを$2:1$に内分することを示せ．
国立 岡山大学 2010年 第3問原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり，また，$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする．線分P$_1$P$_2$の中点をQとし，点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．