数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．

10個の文字$a,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ c,\ d,\ e,\ f$から4個の文字を選び，1列に並べて文字列を作成する．

(1)同じ文字を3個含む文字列の総数を求めよ．
(2)文字がすべて異なる文字列の総数を求めよ．
(3)作成可能な文字列の総数を求めよ．

赤球4個と白球6個の入った袋から2個の球を同時に取り出し，その中に赤球が含まれていたら，その個数だけさらに袋から球を取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)取り出した赤球の総数が2である確率を求めよ．
(2)取り出した赤球の総数が，取り出した白球の総数をこえる確率を求めよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[　]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[　]．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[　]$．

袋の中に赤球$5$個と白球$4$個が入っている．この袋から球を$1$個ずつ取り出していき，赤，白どちらかの球が先に$3$個取り出されたところで終了する．ただし，取り出した球は袋に戻さない．終了時点で取り出されている球の総数を$X$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$X=5$となる確率を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．

$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた球$10$個の入っている箱がある．
\begin{itemize}
この箱から$1$個の球を取り出したとき，その球の数字を$X$とする．
$1$回目に取り出した球を箱に戻さず，再び$1$個の球を取り出す．$2$回目に取り出した球の数字を$Y$とする．
$2$回目に取り出した球も箱に戻さず，再び$1$個の球を取り出す．$3$回目に取り出した球の数字を$Z$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)「$(X,\ Y)$の組み合わせの総数」および「$(X,\ Y,\ Z)$の組み合わせの総数」を求めよ．
(2)$X<Y$となる確率を求めよ．
(3)$X<Z<Y$となる確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

座標平面上において，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y)$または点$(x,\ y+1)$への移動をN型移動といい，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y+1)$への移動をS型移動という．$n$を3以上の整数とする．原点Oから出発し，$2n-2$回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点$(n,\ n)$に到達する径路の総数を$A(n)$とする．また，このような径路のうち，S型移動を$k$回目の移動として含む径路の総数を$B(n,\ k)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．

ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．

一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すべての面が合同な正三角形であり，各頂点は$5$つの正三角形に共有されている．

(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．