「総数」について
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国立 鳥取大学 2014年 第4問自然数$n$に対して，$1$から$2n$までのすべての自然数を次の条件（ア）および（イ）を満たすように並べた順列$[i_1,\ i_2,\ i_3,\ i_4,\ \cdots,\ i_{2n-1},\ i_{2n}]$の総数を$f(n)$とする．
（ア） $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$i_{2k-1}<i_{2k}$
（イ） $n \geqq 2$ならば$i_1<i_3<\cdots<i_{2n-1}$
たとえば$n=1$のとき条件（ア）を満たす順列は$[1,\ 2]$のみであるから$f(1)=1$となる．
(1)$f(2),\ f(3)$を求めよ．
(2)$n=2,\ 3,\ \cdots$とするとき，$f(n)$と$f(n-1)$の間の関係式を求めよ．
(3)$f(n)$を求めよ．
（ア） $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$i_{2k-1}<i_{2k}$
（イ） $n \geqq 2$ならば$i_1<i_3<\cdots<i_{2n-1}$
たとえば$n=1$のとき条件（ア）を満たす順列は$[1,\ 2]$のみであるから$f(1)=1$となる．
(1)$f(2),\ f(3)$を求めよ．
(2)$n=2,\ 3,\ \cdots$とするとき，$f(n)$と$f(n-1)$の間の関係式を求めよ．
(3)$f(n)$を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第1問総数$20$本のくじの中に，賞金$1000$円の$1$等が$1$本，賞金$500$円の$2$等が$2$本，賞金$100$円の$3$等が$3$本入っており，残りは全て賞金$0$円のはずれくじである．このくじを$2$本引くとき，次の問いに答えよ．
(1)$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．
(2)得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．
(3)得られる賞金の総額の期待値を求めよ．
(4)このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．
(1)$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．
(2)得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．
(3)得られる賞金の総額の期待値を求めよ．
(4)このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問$n$を自然数とする．赤玉が$n$個，青玉が$2$個，白玉が$1$個入った袋がある．
(1)袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=[$31$][$32$]$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は$\displaystyle \frac{7}{4}$である．
(2)袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．
(i) $n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は$\displaystyle \frac{[$33$][$34$]}{4^{10}}$である．
(ii) 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで
「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」
であるものの総数は$3^{10}-[$35$][$36$]$である．
(1)袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=[$31$][$32$]$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は$\displaystyle \frac{7}{4}$である．
(2)袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．
(i) $n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は$\displaystyle \frac{[$33$][$34$]}{4^{10}}$である．
(ii) 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで
「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」
であるものの総数は$3^{10}-[$35$][$36$]$である．
私立 愛知工業大学 2014年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
私立 中京大学 2014年 第2問$\mathrm{Y}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{A}$の$12$文字全部を横$1$列に並べて順列をつくるとき，次の各問に答えよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．
(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．
(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．
(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第5問赤，青，黄色$3$色のカードがそれぞれ$5$枚ずつあり，各色のカードに$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$15$枚のカードから無作為に$3$枚を同時に取り出すとき，以下の各問いに答えよ．
(1)取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2)$3$枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードのうち，青いカードが$1$枚だけとなる確率を求めよ．
(1)取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2)$3$枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードのうち，青いカードが$1$枚だけとなる確率を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
私立 北里大学 2014年 第1問つぎの$[ ]$にあてはまる答を記せ．
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．
(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．
(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．
(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．
(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．
私立 桜美林大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．