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公立 大阪府立大学 2015年 第2問異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．
(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．
(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．
国立 横浜国立大学 2014年 第4問平面上に半径$1$と半径$2$の同心円$C_1$と$C_2$がある．自然数$n$に対して，$C_2$の周を$3n$等分する$3n$個の点がある．この$3n$個の点の中から異なる$3$点を選ぶとき，次の$(*)$をみたす選び方の総数を$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3)$とする．
$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．
$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．
国立 埼玉大学 2014年 第1問$p$を素数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．
(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 弘前大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a+b+c+d=10$を満たす自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(2)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たし，どれも$0$とはならない整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(3)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(1)$a+b+c+d=10$を満たす自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(2)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たし，どれも$0$とはならない整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(3)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第2問$p$を素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．
(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．
国立 佐賀大学 2014年 第3問$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
国立 佐賀大学 2014年 第1問$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
国立 山梨大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答は小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売り値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．
(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答は小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売り値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第3問$n$枚のカードに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これら$n$枚のカードを横一列に並べて，左端から$i$番目（$1 \leqq i \leqq n$）のカードに書かれた数を$a_i$とする．
(1)$n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅱ)$では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<k<n$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3)$n \geqq 4$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅲ)$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<p<q<n$
(ii) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(iii) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$
(1)$n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅱ)$では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<k<n$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3)$n \geqq 4$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅲ)$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<p<q<n$
(ii) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(iii) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$
国立 奈良教育大学 2014年 第2問$7$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$を$3$人，$2$人，$2$人の$3$組に分ける．
(1)分け方の総数を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$3$人の組で同じ組になる分け方の総数を求めよ．
(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じ組になる分け方の総数を求めよ．
(1)分け方の総数を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$3$人の組で同じ組になる分け方の総数を求めよ．
(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じ組になる分け方の総数を求めよ．