$a$の関数
\[ S(a)=\int_0^1 |x^3-ax| \, dx \]
の最小値を求めよ．ただし$a>0$とする．

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．
\[ a^2-b^2>0 \ \text{ならば} \ a-b>0 \ \text{である．} \]
(2)実数$x,\ y$が$xy>0$をみたすとき，不等式$|x+y|>|x-y|$を証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める．

$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$

$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$

$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$


(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．