以下の$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[　]}{[　]},\quad y=-\frac{[　]}{[　]},\quad z=-\frac{[　]}{[　]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[　] \sqrt{[　]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[　]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[　]+[　] \sqrt{[　]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[　]+\sqrt{[　]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=x-\sin 2x$の最大値を求めよ．
(2)円周上を$9$等分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数$y=|\abs{x-1|-2}$のグラフを描け．

$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

関数
\[ f(x)=|x| \left( \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x \right)-\frac{3}{4}x^2+1 \]
に対し，以下の設問に答えよ．

(1)$a<0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^\prime(a)$を求めよ．
(2)$b>0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=b$における微分係数$f^\prime(b)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の区間$-2 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面で，次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ D:|x|+2 |y| \leqq 60 \]
以下の設問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)次の条件を満たす整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．
\[ m+2n \leqq 60,\quad m \geqq 1,\quad n \geqq 1 \]
(3)$D$に含まれる整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．

関数
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．

$a$は$0 \leqq a \leqq 1$を満たす実数とする．関数$y=|x-a|$のグラフと円周$x^2+y^2=1$の$2$交点の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くときの$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．

$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1} |t^2-1| \, dt$の値が最小となるような$x$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)方程式$x^2-x-8=|x|$を解け．
(2)$xy+3x-y-3=5$を満たす整数$x,\ y$の組を求めよ．
(3)$1$日の天気を晴れ，曇り，雨の$3$通りだとする．$4$日間で，晴れの日がちょうど$2$日ある場合は何通りあるか．