関数$y=x^2-x-4 |x-1|$のグラフを$C$とする．

(1)$C$と$2$つの点で接する直線$\ell$の式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの曲線$y=|x^2-1|$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^3-x)$に囲まれた図形の面積を求めなさい．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2 |2x-1|+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフに，異なる$2$点で接する直線を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|=4$をみたす$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}=4 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が直交するとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^2 |x^3-3x^2+2x| \, dx$の値を求めよ．
(3)$10$個の数$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$の中から異なる数字を選んで$4$けたの数を作るとき，この$4$けたの数が$25$の倍数となるのは何通りあるか．

等式$|x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin^2 x}{x}$の導関数を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx$とおく．連立不等式
\[ \frac{\pi}{2} \leqq x\leqq 2\pi,\quad 0 \leqq y \leqq |\displaystyle\frac{\sin x|{x}} \]
によって表される領域の部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$a_1$，$a_2$，$a_3$を用いて表せ．

$a$と$b$は定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+b$，$g(x)=2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$b=0$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$4$個となるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$1$個のとき，$a$と$b$が満たす条件を求めよ．

実数の数列$\{a_n\}_{n=1,\ 2,\ \cdots}$は，任意の正整数$p,\ q$に対して不等式
\[ |a_{p+q|-a_p-a_q}<1 \]
を満たしているとする．

(1)任意の正整数$n$と，$2$以上の任意の整数$k$に対して，不等式
\[ |a_{kn|-ka_n}<k-1 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数$n,\ k$に対して，不等式
\[ |n a_{n+k|-(n+k)a_n}<2n+k-2 \]
が成り立つことを証明せよ．

関数$y = 2 \sin 3x+ \cos 2x-2 \sin x+a$の最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数$a$の値を定めよ．