$3$次関数$f(x)$を$f(x)=x^3-4x$で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$(1,\ 4)$を通る直線と$y=|f(x)|$のグラフが，$x>0$の範囲において$2$個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]

関数$f(x)=\cos x-x \sin x,\ g_n(x)=(x+n \pi)\sin x-\cos x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．

(1)すべての自然数$n$，実数$x$に対して$g_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+n \pi)$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．
(3)(2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$\displaystyle 0<x_n<\frac{1}{n\pi}$を満たすことを示せ．
(4)$y_n=n\pi+x_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．定積分
\[ S_n=\int_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)| \, dx \]
を，$n,\ x_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n}$を求めよ．

座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき，その点を格子点という．本問では，「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする．

(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする．領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある．
(2)$n$を自然数として，不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする．領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．

(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．

このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．

関数$f(x)=|2x-6|-4$に対して，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt (0 \leqq x \leqq 6)$とおく．

(1)$0 \leqq x \leqq [コ]$のとき，$F(x)=-x^2+[サ]x$であり，$[コ]<x \leqq 6$のとき，$F(x)=x^2-[シス]x+[セソ]$である．
(2)$F(x)$は$x=[タ]$のとき最大値$[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$[テト]$をとる．

曲線$C:y=2x^3-9x^2-60x+140$，直線$L:y=k$（$k$は実数）について考える．曲線$C$と直線$L$は，$k=a$および$k=b$（$a<b$）（$a,\ b$ともに実数）のとき，それぞれ，$1$点で接し，その接点とは異なる$1$点で，交わるものとする．$|\displaystyle \frac{b|{16}+\frac{a}{27}}$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．

$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）

$a$を実数とする．$f(x)=e^x |x-a|$について，以下の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，関数$y=f(x) (-3 \leqq x \leqq 1)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$a$で表せ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．