次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$\displaystyle \left( \frac{81}{80} \right)^{2011}$の整数部分の桁数は[　]桁である．ただし，$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$とする．
(2)$y=|x|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は[　]．
(3)$\displaystyle 16 \sum_{k=1}^n k=5200$のとき，$n=[　]$．

関数$f(x)=x^2-x-2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる2つの共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる3つの共有点をもつとき，これらにより囲まれる2つの部分の面積の和$S$を$m$で表せ．
(4)$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めよ．

$n$を自然数とし，$\theta$を$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{3}$であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ．
(2)$\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ．ただし，$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない．
(3)(2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とするとき，不等式$\sin 2 \theta-\sqrt{3}\cos 2 \theta \leqq \sqrt{3}$を解け．
(2)$x,\ y$が不等式$|x-2| \leqq 2y \leqq -|x-2|+4$を満たすとき，$x^2+(y+4)^2$の最大値を求めよ．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で関数$f(x),\ g(x)$を
\[ \begin{array}{l}
f(x)=1-|2x-1| \\
g(x)=1-|2 \abs{2x-1|-1}
\end{array} \]
と定める．

(1)$\displaystyle g \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$y=g(x)$のグラフをかけ．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq f(x) \\
y \leqq g(x) \\
0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

実数$k$は$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq k \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にあるとする．
\[ \begin{array}{ll}
f(x)=\int_{-k}^k \sin (x-t) \cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k) \\
g(x)=\int_{-k}^k |\sin (x-t)|\cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k)
\end{array} \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$と$\displaystyle g \left( -\frac{\pi}{6} \right)$，$2$つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
(2)差$f(x)-g(x)$は，区間$-k \leqq x \leqq k$で増加することを示せ．
(3)曲線$y=g(x)$の変曲点は何個あるか，調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

関数$f(x)=x(2a-|x|)$を考える．ただし，$a$は実数である．$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$g(a)$とおく．$g(a)$を$a$を用いて表し，そのグラフをかけ．