$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

2つの関数$y=ax^2+b,\ y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，点$(a,\ b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．

2つの関数
\[ f(x)=\sin 3x+\sin x+\cos x,\quad g(x)=\cos 3x \]
について，次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq n\pi$における2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の交点の個数を$r$とする．$r$を$n$の式で表せ．ただし，$n$は正の整数とする．
(2)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において$f(x)<g(x)$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)定積分
\[ I=\int_0^\pi |f(x)-g(x)| \, dx \]
の値を求めよ．

次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．