座標平面上で，$x$座標．$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を正の整数として，変数$x,\ y$についての不等式
\[ |x|+|y|<n \]
の表す領域内にある格子点$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めなさい．
(2)$a_{n+1}-a_n$を$n$で表しなさい．
(3)$a_n$を求めなさい．

$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって，$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3)$U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
(4)$U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．

次の各問に答えよ．

(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \cos^3 x \, dx$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_a^{a+\pi} |x| \cos x \, dx$を求めよ．ただし，$a$は実数とする．

以下の問いに答えよ．

(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

$n$と$k$を自然数，$t$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int x \sin tx \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle I_k(t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を，$k$が偶数である場合に求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2n}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2x$の定義域を$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$とする．次の問に答えなさい．

(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を，それぞれ求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい．

区間$[-1,\ 1]$で，曲線$y=|x|e^{|x|}$と直線$\ell:y=a (0 \leqq a \leqq e)$の間にある部分の面積を$S$とする．

(1)曲線$y=xe^x (x \geqq 0)$と$\ell$の交点の$x$座標を$t$とし，$S$を$t$の式で表せ．
(2)$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$a$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．$2(a+b+c)^2-2a^2-2b^2+2c^2$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 関数$f(x)=|x^2-6x+5|$のグラフをかけ．
(ii) 区間$0 \leqq x \leqq t$における$f(x)=|x^2-6x+5|$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．