空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．

$k$を正の定数とし，$x,\ y$を実数とする．

(1)不等式$|y| \leqq -x^2+1$の表す領域を図示せよ．
(2)$k=1$のとき，不等式$|x|+|y| \leqq k$の表す領域を図示せよ．
(3)命題「$|y| \leqq -x^2+1$ならば$|x|+|y| \leqq k$」が真であるための必要十分条件を$k$の不等式を用いて表せ．

$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$の整数部分の値は$[　]$である．また，等式$|x|+|x-3|=x+1$をみたす$x$の値をすべて求めると，$x=[　]$である．

次の各設問に答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx-11$が頂点$(2,\ -3)$をもつとすると，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{18}$を満たす$x$の値は$[エオ]$，$[カ]$である．
(3)$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}+\log_{27}9 \sqrt{3}$を計算すると，$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^1 |(x+1)(x-3)| \, dx$の値は$[コサ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{3}{2}x^2+5x-3 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を求めよ．
(2)$2$次方程式$\displaystyle x^2+kx+k^2+\frac{7}{2}k-6=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．

(3)式$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{A \sqrt{10}+B \sqrt{35}+C \sqrt{14}}{20}$となるという．$A,\ B,\ C$の値を求めよ．
(4)不等式$3 |x+3|>4+x$の解は，$x<A,\ B<x$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$2$つの放物線$y=2x^2-4x+7$と$y=-3x^2+8x+6$の$2$つの共有点と，点$(3,\ 5)$を通る放物線の方程式は，$y=Ax^2+Bx+C$となる．定数$A,\ B,\ C$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{3}{2}x^2+5x-3 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を求めよ．
(2)$2$次方程式$\displaystyle x^2+kx+k^2+\frac{7}{2}k-6=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．

(3)式$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{A \sqrt{10}+B \sqrt{35}+C \sqrt{14}}{20}$となるという．$A,\ B,\ C$の値を求めよ．
(4)不等式$3 |x+3|>4+x$の解は，$x<A,\ B<x$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$2$つの放物線$y=2x^2-4x+7$と$y=-3x^2+8x+6$の$2$つの共有点と，点$(3,\ 5)$を通る放物線の方程式は，$y=Ax^2+Bx+C$となる．定数$A,\ B,\ C$の値を求めよ．

$0<k<3$のとき，等式$|x-k|+|x-3|=x+1$をみたす$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき$\beta$を$k$の式で表すと$\beta=[　]$である．また，$\beta-\alpha=5$となる$k$の値を求めると，$k=[　]$である．

関数$y=|x| (|x|-3)$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(1)点$(0,\ -b)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．ただし，$b$は正の定数とする．
(2)$b \geqq 3$のとき，$(1)$で求めた接線と$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x,\ y$を整数とする．$x+y+xy$が偶数ならば$x,\ y$はともに偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$を正の実数とする．実数$x$に対し次の命題が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
\[ |x-a|<b \Longrightarrow |x-b|<a \]
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，$\sin 2x>\cos x$となる$x$の範囲を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．